有限数学示例

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ 。

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

解题步骤 1.2.2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.6

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.7

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$2 + 13 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.8

将 $2$ 和 $13$ 相加。

$15 - 15$

解题步骤 1.2.2.1.3.9

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$0$

解题步骤 1.2.2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

解题步骤 1.2.2.1.5

用 $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

解题步骤 1.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

解题步骤 1.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

解题步骤 1.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $15 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

解题步骤 1.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

解题步骤 1.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $15 x - 15$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

解题步骤 1.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

解题步骤 1.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + 2 x + 15$

解题步骤 1.2.2.1.6

将 $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2

把 $2$ 重写为 $- 3$ 加 $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 3$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.5

将 $- x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $- x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$- x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $- x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$- x = 3$

解题步骤 1.2.5.2.2

将 $- x = 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

将 $- x = 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.3.1

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 3, 5$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.4

去掉圆括号。

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.5

化简 $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.5.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.5.1.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $13$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

解题步骤 2.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 - 15$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 - 15$

解题步骤 2.2.5.2.3

从 $0$ 中减去 $15$ 。

$y = - 15$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, - 15)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

y 轴截距： $(0, - 15)$

解题步骤 4

有限数学 示例

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